Non serve nessun permesso.
Il personnummer te lo danno se hai un lavoro, non viceversa.
Quindi prima devi trovare un lavoro, poi dimostri allo skatteverket che sei in grado di mantenerti, quindi loro ti registrano come residente e ti danno il personnummer....
Con il personnummer avrai anche l'assistenza sanitaria, la scuola, il privilegio di pagar le tasse, ecc, ecc....
Come persona alla ricerca di lavoro (ovvero come turista) puoi rimanere al massimo sei mesi (oppure tre, hanno cambiato le regole) ..... Ma non è un problema, nessuno verrà mai a chiederti nulla e se anche fosse basta che tu dica "Sono appena arrivato!".....
Ma come detto prima (forse sono stato poco chiaro) se sei in grado di mantenerti puoi rimanere finché vuoi...